Kegel

Ein Kegelschnitt ist die ebene Kurve, die durch den Schnittpunkt einer Ebene und eines rechtskreisförmigen Kegels mit zwei Kappen gebildet wird. Ein solcher Kegel ist in Abbildung 1 dargestellt.

Der Kegel ist die Oberfläche, die von allen Linien gebildet wird, die durch einen Kreis und einen Punkt verlaufen. Der Punkt muss auf einer Linie liegen, die als Achse bezeichnet wird und senkrecht zur Kreisebene im Mittelpunkt des Kreises verläuft. Dieser Punkt wird als Scheitelpunkt bezeichnet, und jede Linie auf dem Kegel wird als Generatrix bezeichnet. Die beiden Teile des Kegels, die zu beiden Seiten des Scheitelpunkts liegen, sind Windeln. Wenn die Schnittebene senkrecht zur Achse ist, ist der Kegelschnitt ein Kreis (Abbildung 2).

Wenn die Schnittebene gekippt ist und eine der Windeln vollständig durchschneidet, ist der Schnitt ein Oval, das als Ellipse bezeichnet wird (Abbildung 3).

Wenn die Schnittebene parallel zu einer der Generatrizen ist, schneidet sie nur eine Decke. Der Abschnitt ist eine offene Kurve, die als Parabel bezeichnet wird (Abbildung 4).

Wenn die Schnittebene beide Windeln schneidet, ist der Schnitt eine Hyperbel, eine Kurve mit zwei Teilen, die als Zweige bezeichnet wird (Abbildung 5).

Alle diese Abschnitte sind gekrümmt. Wenn die Schnittebene jedoch durch den Scheitelpunkt verläuft, ist der Abschnitt ein einzelner Punkt, eine einzelne Linie eines Paares gekreuzter Linien. Solche Abschnitte sind von untergeordneter Bedeutung und werden als "entartete" Kegelschnitte bezeichnet.

Seit der Antike wissen Mathematiker, dass Kegelschnitte so definiert werden können, dass kein offensichtlicher Zusammenhang mit Kegelschnitten besteht. Eine Reihe von Möglichkeiten ist die folgende:

Ellipse: Die Menge der Punkte P, so dass PF1 + PF2 gleich einer Konstanten ist und F1 und F2 feste Punkte sind, die als Brennpunkte bezeichnet werden (Abbildung 6).

Parabel: Die Menge der Punkte P, so dass PD = PF, wobei F ein fester Punkt ist, der als Fokus bezeichnet wird, und D der Fuß der Senkrechten von P zu einer festen Linie ist, die als Directrix bezeichnet wird (Abbildung 7).

Hyperbel: Die Menge der Punkte P, so dass PF1 - PF2 gleich einer Konstanten ist und F1 und F2 feste Punkte sind, die als Brennpunkte bezeichnet werden (Abbildung 8).

Wenn P, F und D wie in Fig. 7 gezeigt sind, ist die Menge von Punkten P, die die Gleichung PF / PD = e erfüllt, wobei e eine Konstante ist, ein Kegelschnitt. Wenn 0 <e <1 ist, ist der Abschnitt eine Ellipse. Wenn e = 1 ist, ist der Abschnitt eine Parabel. Wenn e> 1 ist, ist der Abschnitt eine Hyperbel. Die Konstante e heißt Exzentrizität des Kegelschnitts.

Da das Verhältnis PF / PD nicht durch eine Änderung der Skala geändert wird, die zur Messung von PF und PD verwendet wird, alle

Kegelschnitte mit gleicher Exzentrizität sind geometrisch ähnlich.

Kegelschnitte können auch analytisch definiert werden, dh als Punkte (x, y), die eine geeignete Gleichung erfüllen. Ein interessanter Weg, dies zu erreichen, besteht darin, mit einem geeignet platzierten Kegel im Koordinatenraum zu beginnen. Ein Kegel, dessen Scheitelpunkt am Ursprung liegt und dessen Achse mit der z-Achse übereinstimmt, hat die Gleichung x2 + y2– kz2 = 0. Die Gleichung einer Ebene im Raum lautet ax + by + cz + d = 0. If

man verwendet Substitution, um z aus diesen Gleichungen zu eliminieren, und kombiniert gleiche Terme. Das Ergebnis ist eine Gleichung der Form Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, wobei mindestens einer der Koeffizienten A, B und C von Null verschieden ist.

Wenn beispielsweise der Kegel x2 + y2– z2 = 0 durch die Ebene y + z– 2 = 0 geschnitten wird, müssen die beiden gemeinsamen Punkte die Gleichung x2 + 4y– 4 = 0 erfüllen, die durch eine Verschiebung der Achsen nach x2 + vereinfacht werden kann 4y = 0. Da in diesem Beispiel die Ebene parallel zu einer der Generatrizen des Kegels ist, ist der Abschnitt eine Parabel (Abbildung 9).

Man kann diesen Vorgang mit anderen sich überschneidenden Ebenen verfolgen. Die Ebene z– 5 = 0 erzeugt den Kreis x2 + y2– 25 = 0. Die Ebenen y + 2z– 2 = 0 und 2y + z– 2 = 0 erzeugen die Ellipse 12x2 + 9y2– 16 = 0 bzw. die Hyperbel 3x2– 9y2 + 4 = 0 (nach einer vereinfachenden Übersetzung der Achsen). Diese Ebenen, die entlang der x-Achse blicken, sind in Abbildung 10 dargestellt.

Wie diese Beispiele veranschaulichen, haben geeignet platzierte Kegelschnitte Gleichungen, die in die folgenden Formen gebracht werden können:

Kreis: x2 + y2 = r2

Ellipse: A2x2 + B2y2 = C2

Parabel: y = Kx2

Hyperbel: A2x2 - B2y2 = + C2

Die obigen Gleichungen sind "geeignet platziert". Wenn die Gleichung nicht in einer der obigen Formen vorliegt, kann es schwierig sein, genau zu sagen, welche Art von Kegelschnitt die ist

Gleichung darstellt. Es gibt jedoch einen einfachen Test, der dies tun kann. Mit der Gleichung Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 identifiziert die Diskriminante B2–4AC, um welchen Kegelschnitt es sich handelt. Wenn die Diskriminante positiv ist, ist der Abschnitt eine Hyperbel; Wenn es negativ ist, ist der Abschnitt eine Ellipse. Wenn es Null ist, ist der Abschnitt eine Parabel. Die Diskriminante unterscheidet nicht zwischen einem richtigen Kegelschnitt und einem entarteten wie x2– y2 = 0; Es wird nicht zwischen einer Gleichung mit echten Wurzeln und einer Gleichung wie x2 + y2 + 1 = 0 unterschieden, die dies nicht tut.

Schüler, die mit der quadratischen Formel vertraut sind, werden die Diskriminante aus gutem Grund erkennen. Es geht darum, die Punkte zu finden, an denen der Kegelschnitt die Linie im Unendlichen kreuzt. Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösung, was mit der Tatsache übereinstimmt, dass sowohl Kreise als auch Ellipsen vollständig im endlichen Teil der Ebene liegen. Parabeln führen zu einer einzelnen Wurzel und tangieren die Linie im Unendlichen. Hyperbeln führen zu zwei Wurzeln und kreuzen sie an zwei Stellen.

Kegelschnitte können auch mit Polarkoordinaten beschrieben werden. Um dies am einfachsten zu tun, verwendet man die Fokus-Directrix-Definitionen, wobei der Fokus am Ursprung und die Directrix bei x = −k (in rechteckigen Koordinaten) platziert werden. Dann lautet die polare Gleichung r = Ke / (1 - ecos θ), wobei e die Exzentrizität ist (Abbildung 11).

Die Exzentrizität in dieser Gleichung ist numerisch gleich der Exzentrizität, die durch ein anderes Verhältnis gegeben ist: CF / CV, wobei CF den Abstand vom geometrischen Zentrum des Kegelschnitts zum Fokus und CV den Abstand vom Zentrum zum Scheitelpunkt darstellt. Im Falle eines Kreises sind der Mittelpunkt und die Brennpunkte gleich; CF und Exzentrizität sind also beide Null. Im Fall der Ellipse sind die Eckpunkte Endpunkte der Hauptachse und daher weiter vom Zentrum entfernt als die Brennpunkte. CV ist daher größer als CF und die Exzentrizität ist kleiner als 1. Im Fall der Hyperbel liegen die Eckpunkte auf der Querachse zwischen den Brennpunkten, daher ist die Exzentrizität größer als 1. Im Fall der Parabel ist die "Zentrum" ist unendlich weit vom Fokus und vom Scheitelpunkt entfernt; Also (für diejenigen, die eine gute Vorstellungskraft haben) ist das Verhältnis CF / CV 1.

Schlüsselbegriffe

Kegelschnitt - Eine Figur, die sich aus dem Schnittpunkt eines rechten Kreiskegels mit einer Ebene ergibt. Kegelschnitte sind Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Directrix - Eine Linie, die zusammen mit einem Fokus die Form eines Kegelschnitts bestimmt.

Exzentrizität- Das Verhältnis von Mitte zu Fokus / Mitte zu Scheitelpunkt in einem Kegelschnitt; oder das Verhältnis Abstand-Tofokus / Abstand-zu-Direktrix, das für alle Punkte auf einem Kegelschnitt gleich ist. Diese beiden Definitionen sind mathematisch äquivalent.

Fokus- Ein Punkt oder einer von zwei Punkten, dessen Position die Form eines Kegelschnitts bestimmt.

Ressourcen

Bücher

Finney, Ross L. et al. Kalkül: Grafisch, Numerisch, Algebraisch einer einzelnen Variablen. Reading, MA: Addison Wesley Publishing Co., 1994.

Gullberg, Jan und Peter Hilton. Mathematik: Von der Geburt der Zahlen. WW Norton & Company, 1997.

Andere

Sellers, James A. "Eine Einführung in Kegelschnitte" Krell-Institut. (Zugriff auf den 7. Oktober 2006.).

J. Paul Moulton